Fondamenti della meccanica atomica
uno di tali nodi viene a coincidere col punto B, la curva soddisfa le condizioni (α) e quindi rappresenta una autofunzione, ed il corrispondente valore
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Condizioni (α): debba essere (1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro
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L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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Condizioni (β): debba aversi invece
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Queste condizioni si possono anche scrivere
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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(14), con le condizioni agli estremi (α) o (β), e con la convenzione (spiegata al § 6) che gli eventuali autovalori doppi vengano contati per due. Si
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Questi risultati si potevano prevedere intuitivamente osservando che le condizioni (β) impongono alla sinusoide di avere la stessa ordinata e la
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coefficienti della serie : la prima delle condizioni così ottenute serve a determinare ed è, come si trova facilmente,
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(Di qui si vede che, per avere una determinazione assai precisa di x ed y, conviene, a parità di altre condizioni, scegliere radiazioni di lunghezza
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cambiamenti. : perciò si ha,nelle condizioni più favorevoli,
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(2) Per una giustificazione di queste condizioni, come pure per la enunciazione delle condizioni cui deve soddisfare la in problemi più generali di
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indeterminato), anche alcune condizioni di regolarità. E cioè, si richiederà anzitutto che la e le sue derivate prime siano continue e ad un sol valore in tutto
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(1) In certi casi le condizioni del problema impongono alla particella di restare entro un certo spazio S: allora evidentemente si può integrare
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Con queste condizioni, il problema dell'integrazione dell'equazione di Schrödinger rientra nella categoria di quelli studiati nell'introduzione
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, dalle condizioni iniziali, e in particolare dalle osservazioni a cui è stato inizialmente sottoposto il sistema.
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Supponiamo perciò (come nella nota al § 25) che vi sia non uno ma un gran numero N di sistemi nelle stesse condizioni (e non agenti tra loro): la
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I moduli delle costanti C e D si determinano con le condizioni di normalizzazione, che danno:
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già trattato al § 8 sotto le condizioni (): segue allora dalla (24') che k può assumere solo i valori
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Analogamente le condizioni di continuità per x = l danno
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Le condizioni di continuità di u e di per x = O danno
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che se la P non si riduce a un polinomio essa non può soddisfare le condizioni volute.
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aggiungere a queste leggi delle condizioni restrittive (condizioni di Sommerfeld) che rendono possibili solo alcuni tra gli infiniti movimenti consentiti
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anzichè della forma più generale . Tutte queste condizioni sembrano molto restrittive, ma in pratica la maggior parte dei sistemi che si presentano
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Il movimento del sistema ad f gradi di libertà dipende,come è noto, da costanti, definibili dalle condizioni iniziali: ora Sommerfeld impose una
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Nel caso di un sistema a più gradi di libertà, a variabili separabili, le condizioni di Sommerfeld si potrebbero ritrovare in modo analogo
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un altro sistema di coordinate (di cui diremo i momenti coniugati), e si applicano a queste le condizioni di Sommerfeld
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quantiche rientra come caso particolare nelle condizioni di Sommerfeld.
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Ora possiamo scrivere le tre condizioni di Sommerfeld, che sono
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Ora, sommando le due ultime condizioni di Sommerfeld (324), (325), e tenendo conto di questa identità, si ottiene
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c) Quantizzazione spaziale. - Le due ultime condizioni di Sommerfeld determinano l'inclinazione del piano dell'orbita rispetto all'asse polare, ossia
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e poichè, per le citate condizioni di normalizzazione, i due integrali valgono 1, si ritrova, ricordando la (345), il risultato (346).
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(1) Almeno se i processi di misura con cui si definiscono dette osservabili soddisfano certe condizioni : v. § 24.
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di più variabili F(x, y, z,...) si può definire (almeno sotto condizioni assai larghe) una osservabile F(X, Y, Z, ...), nel modo seguente.
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Moltiplichiamo (a sinistra) i due membri per e integriamo rispetto a tutto lo spazio delle q, tenendo presenti le condizioni di ortogonalità e
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Affinchè il secondo membro abbia effettivamente la forma di una divergenza, basta imporre alle matrici le condizioni
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le condizioni
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sorgere della meccanica quantistica. Sommerfeld ha postulato, in luogo della condizione (15) di Bohr, delle condizioni più generali atte a caratterizzare
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i coefficienti c contenuti in queste formule restando arbitrari, salvo le condizioni di normalizzazione. Tenendo conto della (392') e delle (396), e
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Variando le condizioni dell'esperienza si può tuttavia fare in modo che ciò non accada (occorre perciò diminuire la pressione del gas) e allora nella
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(Entrambi questi tipi rientrano nella categoria delle «condizioni omogenee», alle quali si potrebbero estendere molte delle considerazioni che
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Nei problemi concreti, si deve disporre delle due costanti c1, c2 in modo che la y soddisfi a due altre condizioni imposte dal problema: p. es., che
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Consideriamo p. es. il caso delle condizioni (α). Utilizzando l'espressione (2) dell'integrale generale, si tratta di ricercare due valori, non
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condizione cui devono soddisfare questi coefficienti affinchè l'equazione ammetta, per le date condizioni agli estremi, una soluzione non nulla (e quindi
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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Poichè un'autofunzione qualunque può essere moltiplicata per una costante arbitraria senza cessare di soddisfare le condizioni richieste, si hanno
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Consideriamo due autofunzioni yn, ym, della (14), relative alle condizioni (α), ed appartenenti a due distinti autovalori λn, λm: esse soddisferanno
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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La stessa proprietà vale evidentemente anche se le condizioni agli estremi sono le (β), purchè il coefficiente P assuma gli stessi valori in a e b.
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Accademia della crusca
